Πολιτιστικά

Χρήσιμες συνδέσεις

Ο καιρός στο Αλιβέρι-Κριεζά

Νομοθεσία

Επιμόρφωση εκπ/κών

Ειδησεογραφία

15-μελές Σχολείου

Σύλλογος Γονέων

Ανακοινώσεις Σχολείου

"Στέρεη μάθηση σε ένα μεταβαλλόμενο
κόσμο με την τεχνολογία καταλύτη
στα χέρια του εκπαιδευτικού"

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Έστω το πρόβλημα:

Το μήκος ενός ορθογωνίου είναι μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 6 και το

εμβαδόν του είναι 16.Να βρείτε το πλάτος του και το μήκος του. (Προβλήματα σαν αυτό έχουν βρεθεί γραμμένα με τις λύσεις τους πάνω σε Βαβυλωνιακές πλάκες και χρονολογούνται γύρω στο 1800 π.Χ.)

1) Ας προσπαθήσουμε να φτιάξουμε την εξίσωση που λύνει το παραπάνω πρόβλημα.

Αν ονομάσουμε χ το πλάτος του ορθογωνίου τότε :

το μήκος του θα είναι:………………………………

το εμβαδόν του θα είναι:............................................=…………………………………

Επομένως έχουμε την εξίσωση:……………………………..η οποία είναι μια εξίσωση πλήρης 2^ου βαθμού.

Αυτό που την κάνει να ξεχωρίζει από άλλες πλήρεις που έχουμε λύσει ,είναι ότι το πρώτο μέλος της δεν είναι ίσο με το τετράγωνο κάποιου διωνύμου.

Το ερώτημα είναι πως θα βρούμε την «συνταγή» για την λύση της την οποία γνώριζαν οι Βαβυλώνιοι πριν από 4000 περίπου χρόνια .Η επίλυση τέτοιων εξισώσεων με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου (όπως λέγεται) είναι το σημερινό μας μάθημα.

2)Επίλυση της εξίσωσης

Είπαμε ότι το πρώτο μέλος της εξίσωσης δεν είναι τετράγωνο διωνύμου, αυτό που μάλλον φαίνεται, είναι ότι βρίσκεται πολύ κοντά στο να γίνει .

Ας δούμε ποιους όρους του αναπτύγματος του (α+β) έχουμε :

υπάρχει το ακαι είναι το ………………..με α=……

υπάρχει το 2αβ και είναι το ……………….με β=…….

Επομένως λείπει το β=……….το οποίο μπορούμε να το …………………. και στα δύο μέλη .Έτσι η εξίσωση μας γίνεται:

……………………………………………………

…………………… ή …………………………

Από τις λύσεις που βρήκαμε δεκτή είναι η x=………………………..γιατί……………………………………….

Επομένως το πλάτος είναι………………………….και το μήκος είναι …………………….

3) Με τον ίδιο περίπου τρόπο λύνεται και η εξίσωση:

υπάρχει το ακαι είναι το ………………..με α=……

υπάρχει το 2αβ και είναι το ……………….με β=…….

υπάρχει ακόμα το -80 που όμως δεν είναι το β γ’ιαυτό το μεταφέρουμε στο β΄ μέλος . Έτσι η εξίσωση μας γίνεται:

……………………………………………………

Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β=………..Έτσι η εξίσωση μας γίνεται:

……………………………………………………

…………………… ή …………………………

4)Ελάτε να λύσουμε τώρα μια ακόμη εξίσωση πλήρη δευτέρου βαθμού

Εδώ δεν φαίνεται ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου ,ούτε κάποιοι όροι του (ίσως και να υπάρχουν αλλά είναι αρκετά δύσκολο να τους δούμε). Γι’αυτό από την εποχή των Βαβυλωνίων οι μελετητές ανάλογα με την ευφυΐα, την εμπειρία, την επιμονή τους , χρησιμοποίησαν διάφορες τεχνικές για να προκύψει τέλειο τετράγωνο στο α΄ μέλος. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε μια διαδικασία, έναν αλγόριθμο όπως λέγεται, που απ’ότι λένε πρώτος τον χρησιμοποίησε ο Ινδός μαθηματικός Sridhara το 1025μ.Χ

1^ο βήμα: πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης επί 4α όπου α ο συντελεστής του δηλαδή επί………………έτσι η εξίσωση γίνεται:

………………………………………………………………….

2^ο βήμα: Στο α΄μέλος βλέπουμε ότι έχει δημιουργηθεί παράσταση της μορφής με α=…………..και β=………….,υπάρχει ακόμα ο αριθμός ……………ο οποίος δεν είναι το β για το λόγο αυτό τον μεταφέρουμε στο β΄μέλος . Έτσι η εξίσωση γίνεται :

…………………………………………..

3^ο βήμα: Προκειμένου να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου ,προσθέτουμε και στα δύο μέλη το ……..,έτσι η εξίσωση γίνεται:

………………………………………

……………………………………….

4^ο βήμα: Έχουμε ήδη φτάσει σε μια γνώριμη από το προηγούμενο μάθημα εξίσωση την οποία λύνουμε κατά τα γνωστά ,δηλαδή:

………………………………… ή …………………………………..

Αυτή η μέθοδος που ακολουθήσαμε με τα παραπάνω βήματα είναι γνωστή ως μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου ,είναι αυτή που αναφέρεται στο βιβλίο σας και μ’αυτήν μπορούμε να λύσουμε όλες τις εξισώσεις που λύσαμε πιο πάνω.

5) Με τον ίδιο τρόπο να λύσετε την εξίσωση: 5