Πολιτιστικά

Χρήσιμες συνδέσεις

Ο καιρός στο Αλιβέρι-Κριεζά

Νομοθεσία

Επιμόρφωση εκπ/κών

Ειδησεογραφία

15-μελές Σχολείου

Σύλλογος Γονέων

Ανακοινώσεις Σχολείου

"Στέρεη μάθηση σε ένα μεταβαλλόμενο
κόσμο με την τεχνολογία καταλύτη
στα χέρια του εκπαιδευτικού"

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά

ΤΑΞΗ: Γ΄ Γυμνασίου

ΕΝΟΤΗΤΑ: Επίλυση εξίσωσης 2^ου βαθμού με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου.

ΔΙΑΡΚΕΙΑ:1 διδακτική ώρα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Διακογεωργίου Γεώργιος

Α. Διδακτικοί στόχοι

Οι μαθητές να λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου.

Μη μετρήσιμος στόχος: Η αγάπη των μαθητών για τα μαθηματικά και την έρευνα.

Β. Ταξινόμηση διδακτικών στόχων

Γνώση – Κατανόηση

Γ. Προαπαιτούμενες γνώσεις

1) οι αξιοσημείωτες ταυτότητες :α +2αβ+β=(α+β) , α -2αβ+β =(α-β)

2) επίλυση της x=α

Δ. Διδακτική μέθοδος

Επαγωγική

Ε. Μορφή διδασκαλίας

Καθοδηγούμενη διδασκαλία

ΣΤ. Εποπτικά μέσα

Πίνακας – Τετράδια – Φύλλο εργασίας –βιντεοπροβολέας

Ζ. Οργάνωση και σχεδιασμός των «διδακτικών ενεργειών» ,

(συγκεκριμένα βήματα και δραστηριότητες για τους μαθητές)

1) Εξέταση προηγούμενου μαθήματος

Λύνουν οι μαθητές στον πίνακα την άσκηση 3β,6α

2) Κινητοποίηση του ενδιαφέροντος των μαθητών για το συγκεκριμένο μάθημα

Στους μαθητές δίνεται το πρόβλημα:

Το μήκος ενός ορθογωνίου είναι μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 6 και το εμβαδόν του είναι 16.Να βρείτε το πλάτος και το μήκος του.

3) Πληροφόρηση των μαθητών για τους στόχους της διδασκαλίας

Σήμερα θα μάθουμε να λύνουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού πλήρεις, των οποίων το πρώτο μέλος δεν είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου. Γίνεται στο βήμα 1)του φύλλου εργασίας .

4) Ανάκληση προηγούμενων δυνατοτήτων ή πληροφοριών

Πως λύνουμε εξίσωση 2^ου βαθμού της οποίας το δεύτερο μέλος είναι σταθερός αριθμός ,ενώ το πρώτο είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου ή είναι τετράγωνο διωνύμου . Γίνεται στην εξέταση του προηγούμενου.

5) Δραστηριότητες για την ανάδειξη της νέας γνώσης

Οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν το φύλλο εργασίας και ταυτόχρονα κάθε βήμα τους για την συμπλήρωση τετραγώνου θα υποστηρίζεται από την προβολή της γεωμετρικής ερμηνείας στην αντίστοιχη διαφάνεια.

Βήματα :1-2) (εδώ γίνεται συζήτηση και οι μαθητές καθοδηγούνται στο να συμπληρώσουν το ανάπτυγμα τετραγώνου στο α΄μέλος της εξίσωσης και τελικά να τη λύσουν ) και 4)(εδώ γίνεται συζήτηση με τους μαθητές …κανείς βέβαια δεν θα βρει ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου . Ούτε κάποια τμήματα του. Οπότε γίνεται πλέον φανερή η ανάγκη για αναζήτηση μιας άλλης τεχνικής. ΄Ετσι προχωράμε στον αλγόριθμο που μπορεί να ακολουθείται σε όλες αυτές τις εξισώσεις ).

6) Μεθοδολογική και λειτουργική χρήση της νέας γνώσης

Μέσα από τις δραστηριότητες που θα εκτελέσουν οι μαθητές στα βήματα 3),4),5)(άσκηση σχολικού5στ) του φύλλου εργασίας.

7) Έλεγχος και ανατροφοδότηση της κατανόησης

Μέσα από τις δραστηριότητες που θα εκτελέσουν οι μαθητές κατά την τελευταία διδακτική ενέργεια στο βήμα 5,6α) (άσκηση σχολικού5γ) και 6β) του φύλλου εργασίας.

8) Ανακεφαλαίωση

Από τους μαθητές.

Η. Εργασία στο σπίτι

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 5β,δ,ε,6γ, 8 σελίδα 93.

Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού:

Μια Βαβυλωνιακή Προσέγγιση

Πριν προχωρήσουμε στο βασικό θέμα της εργασίας, να ψάξετε για τα στοιχεία που ζητούνται στην ερώτηση (1), ώστε να αποκτήσετε μια καλύτερη αντίληψη για το που και πότε αναπτύχθηκαν τα μαθηματικά που εξετάζονται στη συνέχεια.

Ερώτηση (1): Σε ποια χρονική περίοδο έζησαν οι Βαβυλώνιοι; Σε ποιο μέρος (να βρείτε ένα γεωγραφικό χάρτη της εποχής); Από πού παίρνουμε πληροφορίες για τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων; Ποιο ήταν το αποφασιστικό γεγονός που επέτρεψε την μετάφραση των γραπτών τεκμηρίων;

Πολλά Βαβυλωνιακά προβλήματα αναφέρονται στον υπολογισμό της επιφάνειας και των διαστάσεων αγροτικών εκτάσεων, οι οποίες είχαν σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου ή τετραγώνου. Ο υπολογισμός ανάγεται στην επίλυση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν διάφορες τεχνικές για να λύσουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Πρώτο παράδειγμα

Η επιφάνεια ενός ορθογωνίου είναι 3600. Πρόσθεσα μήκος και πλάτος και βρήκα 174. Να υπολογιστούν το μήκος και το πλάτος (Πήλινη πλάκα στη συλλογή του Πανεπιστημίου του Yale των Η.Π.Α. με κωδικό Υ.Β.C. 4612).

Στο Βαβυλωνιακό κείμενο δίνεται μόνο η λύση: Μήκος 150 και πλάτος 24.

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό συμβολισμό και θέσουμε το μήκος ίσο με χ, τότε το πλάτος θα είναι 174 – χ, και θα πάρουμε την εξίσωση : χ (174 – χ) = 3600 ή ισοδύναμα: χ² – 174 χ + 3600 = 0.

Να λύσετε την εξίσωση (με οποιονδήποτε τρόπο) και να συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με αυτά του Βαβυλωνιακού κειμένου.

Ο Αυστριακός Otto Neugebauer (Νόυγκεμπαουερ, 1899-1990, κορυφαίος ερευνητής της επιστήμης της Μεσοποταμίας), μελετώντας άλλες περιπτώσεις στις οποίες δινόταν και η λύση, θεωρεί ότι οι Βαβυλώνιοι για να λύσουν τα προβλήματα στα οποία δινόταν το άθροισμα ή η διαφορά των δύο διαστάσεων έθεταν:

Δίνεται το άθροισμα

Δίνεται η διαφορά

μήκος = {το μισό του αθροίσματος και κάτι}

πλάτος = {το μισό του αθροίσματος μείον κάτι}

μήκος = { κάτι και το μισό της διαφοράς}

πλάτος = { κάτι μείον το μισό της διαφοράς}

Έτσι, στην παραπάνω περίπτωση το άθροισμα των δύο διαστάσεων είναι σταθερό και ίσο με 174. Οπότε, έθεταν το μήκος ίσο με 87 + ω και το πλάτος ίσο με 87 – ω. Τότε:

(87 + ω)(87 – ω) = 3600

87² – ω² = 3600

7569 – ω² = 3600

ω² = 3969

ω = 63

Άρα το μήκος είναι 87 + 63 = 150 και το πλάτος 87 – 63 = 24. (Σημειώστε ότι τη λύση ω = -63 δεν την έβρισκαν αφού δεν χρησιμοποιούσαν αρνητικούς αριθμούς).

Ερώτηση (2): Στο φύλλο εργασίας λύσατε το πρόβλημα: Το μήκος ενός ορθογωνίου είναι μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 6 και το εμβαδόν του είναι 16. Να βρείτε το πλάτος και το μήκος του. Στο πρόβλημα αυτό δίνεται η διαφορά των δύο διαστάσεων. Μπορείτε να το λύσετε εφαρμόζοντας την τεχνική των Βαβυλωνίων;

Δεύτερο παράδειγμα

Αν προσθέσω επτά φορές την επιφάνεια ενός τετραγώνου και έξι φορές την πλευρά του, θα βρω 1. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου (Υπάρχει ίδιο πρόβλημα, με άλλους συντελεστές σε πήλινη πλάκα στο Βρετανικό Μουσείο με κωδικό Β.Μ. 13901).

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό συμβολισμό και θέσουμε το μήκος της πλευράς του τετραγώνου ίσο με χ, τότε θα πάρουμε την εξίσωση: 7 χ² + 6χ = 1.

Να λύσετε (με οποιονδήποτε τρόπο) την εξίσωση 7χ² + 6χ = 1.

Οι Βαβυλώνιοι για να λύσουν μια δευτεροβάθμια εξίσωση της οποίας ο συντελεστής του χ² δεν ήταν 1, πολλαπλασίαζαν και τα δύο μέλη της με αυτό το συντελεστή. Έτσι, για να λύσουν την εξίσωση 7χ² + 6χ = 1, πολλαπλασίαζαν και τα δύο μέλη της με το 7 και συνέχιζαν όπως στον παρακάτω πίνακα.

7χ² + 6χ = 1

49χ² + 42χ = 7

Πολλαπλασιασμός και των δύο μελών με 7

(7χ)² + 6 (7χ) = 7

ψ² + 6ψ = 7

Νέος άγνωστος ψ = 7χ

ψ = 1

Επίλυση με συμπλήρωση τετραγώνου

1= 7χ ή χ = 1/7

Ερώτηση (3). Μπορείτε να λύσετε με αυτή την τεχνική την εξίσωση: 5χ² – 4χ = 1 ;

Τρίτο παράδειγμα

Αν προσθέσω το εμβαδόν και 2/3 της πλευράς ενός τετραγώνου θα βρω 7/12 . Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου (Πήλινη πλάκα στο Βρετανικό Μουσείο με κωδικό Β.Μ. 13901)

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό συμβολισμό και θέσουμε το μήκος της πλευράς του τετραγώνου ίσο με χ, τότε θα πάρουμε την εξίσωση : x² +(2/3)x = 7/12. Στην μια στήλη παρακάτω φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο λύνουν οι Βαβυλώνιοι την εξίσωση αυτή, και στην άλλη η άποψη του J. Hoyrup, για το πρότυπο που είχαν στο μυαλό τους οι Βαβυλώνιοι όταν έδιναν αυτή τη λύση.

Η λύση

των Βαβυλωνίων

J. Hoyrup:

Οι Βαβυλώνιοι συμπλήρωναν το Τετράγωνο

x² + (2/3)x = 7/12.

Πάρε το μισό του 2/3, αποτέλεσμα 1/3.

Πολλαπλασίασε το1/3 με το 1/3, αποτέλεσμα 1/9.

Πρόσθεσε το 1/9 στο 7/12, και θα βρεις 25/36.

Το 25/36 είναι τετράγωνο του 5/6.

Αφαίρεσε από το 5/6 το 1/3 (που είχες πολλαπλασιάσει με τον εαυτό του) και θα βρεις ½.

Αυτή είναι η πλευρά του τετραγώνου.

x² + (2/3)x = 7/12

(x + 1/3)² = 7/12 + 1/9

(x + 1/3)² = 25/36

(x + 1/3)² = (5/6)²

x + 1/3 = 5/6

x = 5/6 – 1/3

x = ½

Ερώτηση (4): Μπορείτε να λύσετε γεωμετρικά την εξίσωση χ² + 6χ = 16 ;

Τέταρτο παράδειγμα

Αν από την επιφάνεια ενός τετραγώνου αφαιρέσω την πλευρά του, θα βρω 870. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου (Πήλινη πλάκα στο Βρετανικό Μουσείο με κωδικό Β.Μ. 13901).

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό συμβολισμό και θέσουμε το μήκος της πλευράς του τετραγώνου ίσο με χ, τότε θα πάρουμε την εξίσωση : x² - x = 870.

Στην μια στήλη παρακάτω φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο λύνουν οι Βαβυλώνιοι αυτή την εξίσωση. Η λύση αυτή περιγράφεται και στη σελίδα 98 του σχολικού σας βιβλίου. Στη δεύτερη στήλη δίνεται η πιο γενική μορφή χ² – βχ = γ, η οποία αντιστοιχεί στην εξίσωση χ² – χ = 870, και θα πρέπει να εφαρμόσετε και σ’ αυτή τα αντίστοιχα βήματα των Βαβυλωνίων.

χ² – χ = 870

χ² – βχ = γ

Πάρε το μισό του 1 (το 1 είναι ο συντελεστής του χ ,χωρίς το πρόσημο -) που είναι το ½

Πάρε το μισό του …… που είναι το ………...

Πολλαπλασίασε το ½ με το ½ , αποτέλεσμα ¼

Πολλαπλασίασε το ………… με το ……… , θα

βρεις …………………………………………….

Πρόσθεσε το ¼ στο 870 και θα βρεις 870 ¼

Πρόσθεσε το ………… στο……….. και θα

βρεις …………………………………………….

Το 870 ¼ είναι το τετράγωνο του 29 ½

Το…………..είναι το τετράγωνο της